引言:自然过程由谁来规定?选项其实只有两个,要么客观,要么主观。恩培多克勒认为自然过程是由偶然与必然规定的,不受目的牵引,如果有目的,整个自然似乎又“主观化”,而稍有生活阅历的人都应该清醒地意识到:整个大自然(包括人类生活),主体是由一系列必然性决定和推动的,但偶然性仍不可或缺地以一种特别的形式在起作用。芝诺的伟大,在于其悖论的提出,为人类认识自然过程的规定性提出了全新的视角。这种视角刚开始并不受人重视——甚至被当做一件可笑的事。但芝诺天才地设计出一类悖论,让人们对“极限”有了初步的观感,而这背后,其实是他对“连续时间”和“离散时间”的一种考量(契合于现代物理学的“量子说”),深层蕴含的又是运动与静止、变量系统与常量系统、同一参照系与不同参照系(相对论的重要范畴)的辩证,这些又都收束于“规定性”的框架内。芝诺的悖论是人类的思维由线性向非线性、由一元向多元递转的一个关键环节。

芝诺悖论(Zeno’s paradox)是古希腊数学家芝诺(Zeno of
Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。

芝诺:约公元前490年~约公元前425年。

悖论学说

身份:古希腊数学,哲学家,被亚里士多德誉为辩证法的发明人,巴门尼德的弟子,埃利亚学派的代表。

这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支援他老师巴门尼德关于”存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是:”阿基里斯跑不过乌龟”和”飞矢不动”。这些方法可以用微积分的概念解释,但还是无法用微积分解决,因为微积分原理存在的前提是存在广延(如,有广延的线段经过无限分割,还是由有广延的线段组成,而不是由无广延的点组成。),而芝诺悖论中既承认广延,又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决,是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的机械论的分歧点。

贡献:向人类贡献“悖论”这种思维方式,为后世种种新学科的诞生开辟空间。用归谬法从反面去证明巴门尼德的“存在论”。极成功地将哲学与科学汇通。第一次有意识地运用“思想实验”,比爱因斯坦早两千多年。以非数学的语言,最早记录了人们在面对连续性和无限性时所遭遇到的困难。

三个例子

背景:埃利亚学派是诞生于公元前6世纪的意大利南部埃利亚城邦,在认识论上实现了从经验直观到逻辑推理的过渡。该学派的先驱是色诺芬尼,主要代表是巴门尼德,捍卫者是芝诺,修订者为麦里梭。色诺芬尼提出“神”是不动的“一”;巴门尼德进一步概括出“存在”是不动的“一”,且只有抽象的“存在”才是真实的;芝诺用归谬法从反面去论证巴门尼德的“存在论”;麦里梭则修正了巴门尼德的理论,认为“存在”是无限的和不能创造的。

追乌龟

公元前450年,芝诺跟随巴门尼德去雅典进行了一次访问,此时巴门尼德65岁,虽然头发已白,但仪表庄严;而芝诺40岁,魁梧而美观,师徒两人走在大街上颇有亮相T台的感觉,人们纷纷注目,看看这两位埃利亚学者带来了什么。

阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中,他速度为乌龟十倍,乌龟在前面100米跑,他在后面追,但他不大概追上乌龟。因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿喀琉斯追到100米时,乌龟已又向前爬了10米,于是,一个新的起点产生了;阿喀琉斯必须继续追,而当他追到乌龟爬的这10米时,乌龟又已向前爬了1米,阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样,乌龟会制造出无穷个起点,它总能在起点与自个之间制造出一个距离,无论这个距离有多小,但只要乌龟不停地奋力向前爬,阿喀琉斯就永远也追不上乌龟!

这天,师徒两人正在雅典的街头交谈,忽然一个熟悉的身影映入眼帘。

“乌龟”
动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应当达到被追者出发之点,此时被追者已往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。”

“麦里梭!”巴门尼德首先认出来了,既高兴又意外,这是他的另一个弟子,比芝诺要年轻些,也是一个喜欢思考的学生。

如柏拉图描述,芝诺说这样的悖论,是兴之所至的小玩笑。首先,巴门尼德编出这个悖论,用来嘲笑”数学派”所代表的毕达哥拉斯的”
1-0.999…>0″思想。然后,他又用这个悖论,嘲笑他的学生芝诺的”1-0.999…=0,但1-0.999…>0″思想。最后,芝诺用这个悖论,反过来嘲笑巴门尼德的”1-0.999…=0,或1-0.999…>0″思想。

“老师!”麦里梭简直不敢相信自己的眼睛,“真没想到能在这儿遇见您!”

有人解释道:如果慢跑者在快跑者前一段,则快跑者永远赶不上慢跑者,因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点,而当他到达被追者的出发点,慢跑者又向前了一段,又有新的出发点在等着它,有无限个这样的出发点。

“呵呵,真是巧啊,哦对了,这是芝诺,也是我的学生,你们认识一下”,巴门尼德让两个弟子互相介绍了一下。

芝诺当然晓得阿喀琉斯能够捉住海龟,跑步者肯定也能跑到终点。

“原来是师兄!”麦里梭很兴奋地说道,“早就听说您的名字了,您提出的悖论是我们现在经常讨论的话题!”这时周围也围上来不少人,希腊之所以盛产哲学家,与这里的人们喜欢思考是分不开的。

类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题,我们可以用无穷数列的求和,或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间,那么既然我们都算出了追赶所花的时间,我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢?然而问题出在这里:我们在这里有一个假定,那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟,才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。

“我提出的那些悖论——尤其是那四个最引人注意的,其实大部分人理解得不对。”芝诺向麦里梭,也是向身边的人说道。

以上初等数学的解决办法,是从结果推往过程的。悖论自己的逻辑并没有错,它之所以与实际相差甚远,在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函式,而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即不管将时间间隔取得再小,整个时间轴仍是由无限的时间点组成的。换句话说,连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。

“师兄能不能说得具体点,是哪里让人们误解了?”麦里梭问道。

本来这归根毕竟是一个时间的问题。譬如说,阿基里斯速度是10m/s,乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。依照悖论的逻辑,这100/9秒可以无限细分,给我们一种很像永远也过不完的印象。但本来根本不是如此。这就类似于有1秒时间,我们先要过一半即1/2秒,再过一半即1/4秒,再过一半即1/8秒,这样下去我们永远都过不完这1秒,因为不管时间再短也可无限细分。但本来我们真的就永远也过不完这1秒了吗?显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等,很像永远无穷无尽。但本来时间的流动是匀速的,1/2、1/4、1/8秒,时间越来越短,看上去无穷无尽,本来加起来只是个常数而已,也就是1秒。所以说,芝诺的悖论是不存在的。

“先讲一下您的这四个悖论吧,我们想听听您亲自讲一遍,看看和我们听到的是不是一样,可以吗?”围观的人群中传来话语。

飞矢不动

“芝诺,说说吧,我也想听你亲自讲一下”,巴门尼德看弟子有些犹疑,于是鼓励道。

设想一支飞行的箭。在每一时刻,它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间,箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻,而每个时刻又只有静止的箭,所以芝诺断定,飞行的箭总是静止的,它不大概在运动。

“好的老师,我将这四个悖论大致说一下,趁着老师和师弟以及大家都在这儿,如果有不同想法可以说出来,我们一起探讨”,芝诺说道,“首先我对‘二分法’解释一下,这个悖论的主旨就是:‘运动不存在’。为什么这么说呢,请听我的分析:位移的物体在达到目标之前,必须先到达一半距离处,如果用字母表示就是:如果要从A到达B,必须先到达AB的中点C,而要到达C,又必须先到达AC的中点D,以此类推,运动就不能开始。不是吗?”

上述结论也适用于时刻有持续时间的情况。对于这种情况,时刻将是时间的最小单元。假设箭在这样一个时刻中运动了,那么它将在这个时刻的开始和结束位于空间的不同位置。这说明时刻具有一个起点和一个终点,从而至少包含两部分。但这显著与时刻是时间是的最小单元这一前提相矛盾。因此,纵然时刻有持续时间,飞行的箭也不大概在运动。总之,飞矢不动。

“哎?等一下,好像没错啊”,有人说道。

箭悖论的标准解决方案如下:箭在每个时刻都不动这一事实不可以说明它是静止的。运动与时刻里发生什么无关,而是与时刻间发生什么有关。假如一个物体在相邻时刻在相同的位置,那么我们说它是静止的,反之它就是运动的。

“可运动明明发生了啊,我从这里跑到神庙,难道我的行为不是运动?难道这种运动没有发生、没有开始吗?”又有人不解道。

游行队伍

“麦里梭,你怎么认为?”巴门尼德微笑着问。

首先假设在操场上,在一瞬间里,相对于观众席A,列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

“师兄的这种说法我也想了好久,理论上讲并没有错”,麦里梭心中确实有疑问,但又不知从何说起。

◆◆◆◆观众席A

“芝诺,我想问一下,你怎么理解运动?”巴门尼德微笑着转向弟子。

▲▲▲▲伫列B

“物体由起点到达终点的一段活动”,芝诺答道。

▼▼▼▼伫列C

“运动和静止是不是截然不同?”巴门尼德继续问道。

B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

“这个……”芝诺有些犹疑,“虽然在老师您那里,抽象的‘存在’是永恒的、不动的,但在现实世界,运动确实是有的,这个我承认。”

◆◆◆◆观众席A

“呵呵,我将‘存在’从万物中抽离出来,不仅认为它是永恒的、不动的,同时认为它是‘一’,且连续不可分”,巴门尼德讲道。

▲▲▲▲伫列B……向右移动

“对的老师,这些我以前学过。”芝诺讲道。

▼▼▼▼伫列C……向左移动

“那么芝诺,我们回到刚才的话题,在现实世界,刚才你也承认运动与静止是截然不同的了,对不对?”巴门尼德问道。

而此时,对B而言C移动了两个距离单位。也就是,伫列既可以在一瞬间里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此伫列是移动不了的。

“对,老师”,芝诺答道。

“那么你开始时说的‘位移的物体’肯定不是一个静止的物体,对不对?”巴门尼德问道。

“……”芝诺感到一种矛盾横亘在面前,不过很快释然,“老师,位移也可以为零,‘位移的物体’并不意味着该物体一定发生了运动。”

“哈哈,不错不错”,巴门尼德感笑道,“这个物体即使想动,但目标却让它寸步难行。”

“呵呵,老师说的是”,芝诺瞬间明白老师已触到问题的本质层面。

“按照你的悖论,物体本身确实无法移动,但目标确实在做一种特别的移动”,巴门尼德微笑着讲道,“沿着驶向物体的方向,目标从刚开始与物体的距离s、到(1/2)s、(1/4)s、(1/8)s、(1/16)s……(1/2的n次方)s,就这样一直不断下去,是吗?”

“对,老师”,芝诺答道。

“也就是说,只要(1/2的n次方)s的值为0,物体也就根本无法运动了,是吗?”巴门尼德追问道。

“是这样的,老师”,芝诺回答。

“而(1/2的n次方)s是个趋向无限的过程,而宇宙本身是有限的”,巴门尼德微笑着讲道,“所以(1/2的n次方)s不会无限下去。”

“这个……”芝诺感到自己的这个理论与老师对世界的看法是不相符的。

“咱们再换个角度来看”,巴门尼德继续说道,“位移的这个物体会不会像你那样去思考并行动,换句话说,它是不是受你控制?”

“如果受我控制,我保证它移动不了”,芝诺答道,引起大家一阵大笑,芝诺也忍不住笑了起来,“但有些移动显然不受我控制,比如长空的大雁,比如大海的鱼儿,它们自由自在。”

“对,所以它们移动了”,巴门尼德说道,大家又一阵欢笑。

“老师您的意思是,我说的‘运动不存在’只存在于我能控制的物体,还有在理论中?”芝诺有些不甘心,问道。

“理论中也是移动的,除非你能证明(1/2的n次方)s是0,否则运动必将进行。当然,现在我们我们既无法证明它是0,也不能证明它不是0,这个问题,大概要等后人来解决了。”巴门尼德讲道。

“‘1/2的n次方’中的‘n’是不是无穷,与老师您所说的‘存在’的有限,有没有关联?”芝诺接着问道。

“一个是理论中的,一个是我从万物中抽象出的‘存在’,它们有没有关联,我不好说”,巴门尼德答道。

“阿基里斯追龟、飞矢不动和游行问题呢?都挨个给我们讲一下吧”,众人纷纷要求。

“阿基里斯追龟和飞矢不动两个问题,本质上与‘二分法’是同一种问题,‘二分法’解决了,这两种也就迎刃而解了,不是吗?”芝诺忽然想到,笑着对大家讲道。

“对!”巴门尼德认同弟子的看法,“至于四个悖论中的‘游行问题’,其实是‘二分法’的一种推广,随着‘二分法’的解决,也就不成问题了。”

“原来是这样啊,真的只是这样吗?”人们纷纷感叹,还有一些疑问依然萦绕心间。

“好了,芝诺,我还要去会见一位老友,下午就不陪你了”,巴门尼德微笑道,“咱们明天见,一起到帕特农神庙逛逛。”

“好的老师,您慢走”,芝诺送别了老师,看到麦里梭有些心事重重的样子。

“师兄,从万物抽象出来的‘存在’有没有可能是无限的?”麦里梭问道。

“这个问题或许可以转化为:‘万物’为何物?‘抽象’为何物?这些解释清了,‘有限’与‘无限’的问题也就水落石出了。”

“您说得是”,麦里梭说道,“我下午还有点事,不能陪您了,您最近不是一直在雅典吗,改天再拜访老师和您吧!”

“好的”,芝诺看着麦里梭离开,围观的人们纷纷向芝诺致意,渐渐散去。

因为最近几天旅途劳顿,又加上上午大量的思考,吃过午饭后,芝诺在客栈好好地睡了一觉,上午的思考太兴奋了,这一觉还处在兴奋的余波中,梦就在其中氤氲而成。

芝诺在梦中来到一座偌大的图书馆中,分不清外面是白天或黑夜,只看到图书馆里面光线异常柔和明亮。图书馆正中间是一张圆桌,周围有椅子,上面坐着一些身着奇特服装的人们,他们正在喝着不知什么东西,正聊得开心。

“牛顿爵士,您对微积分的贡献真是太大了,这种分析和运算工具极大地推进了科学的进步!”爱因斯坦向牛顿致意。

“微积分的思想其实自古就有,古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些物体的面积和体积,虽然穷竭法中没有显示积分的法则,但其中已经含有了原始的积分思想。伟大的哲学家芝诺提出的二分法、阿奚里追龟和飞矢不动等悖论,对积分思想的发展起到了重要的启示和推动作用。”牛顿讲道,“不过这些悖论虽然可用微积分(无限)的概念进行解释,但还是无法用微积分解决,因为微积分原理存在的前提是存在广延。以具有广延性的线段为例,经过无限次分割后,它仍是由具有广延性的线段组成,而不是由无广延性的点构成。而芝诺在悖论中既认为线段具有广延性,又认为线段是由不具有广延性的点组成,这就自相矛盾了。”

“在同一个空间——或者说在同一个参照系下,这是‘自相矛盾’的,但我们生活的这个世界是多维度的,每个物体其实都同时处在不同空间中,可以用多个参照系同时进行考量,尤其是那些微小的物质。波粒二象性理论告诉我们,所有的粒子或量子既可以部分地用粒子的术语来描述,又可以部分地用波的术语来描述,这正契合了芝诺悖论中线段不仅可以具有广延性,同时又是由无广延性的点构成的理论。芝诺的悖论在狭义相对论中是成立的。”爱因斯坦解释道。

说话间,牛顿和爱因斯坦以及身边的人们都发现芝诺来到了他们的身边,这引起了人们的一阵欢呼。

“非常荣幸能够见到您!”人们纷纷上前表达自己的敬意。

“我提出的几个悖论还很不成熟,如果有时间的话,我会再好好修改一下的”,芝诺微笑着说道。

“不,不”,牛顿站起来向芝诺讲道,“您关于运动的悖论不是简单地否认运动,而是在其中寄寓了很深的思想内涵。”

“对啊”,爱因斯坦也站了起来,接着讲道,“动与静、无限与有限、连续与离散的关系,是您第一个将它们显著地呈现在人们面前,您以悖论的形式对它们进行了辨证的考察。所以亚里士多德称您为‘辩证法的发明人’,黑格尔也指出您客观地辨证地考察了运动,是‘辩证法的创始人’。”

“没有没有”,芝诺谦虚地回道,这时忽然感到一阵眩晕,接着又觉得有一阵风吹着自己的面颊,似乎还有海风的咸味,睁眼一看,自己还是在古希腊雅典的客栈里。和往常醒后还能记住梦中一些内容不同,这次只记得自己心情非常愉悦,至于梦的内容实在记不起来了。

天色已渐渐暗淡下来,好长的一个梦,都有点饿了,附近饭馆的声音传来,芝诺先去填饱了肚子,然后在客栈附近遛了会儿。繁星笼罩时,又带着一天的兴奋与深思再次进入梦乡。

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